16 października 2010

Ile matematyki w RPA?

Wśród zawodników drużyny Szwajcarii istnieje co najmniej dwóch, którzy mają w tej drużynie taką samą liczbę przyjaciół. (Przyjmujemy w duchu fair-play, że przyjaźń zawsze jest wzajemna).
To zadanie, które znalazłam na Niezłym Blogu Matematycznym jeszcze w czerwcu. Wiem, to dość dawno, ale myślę że to ciekawe zadanie z zastosowaniem zasady szufladkowej.



Powyższe twierdzenie łatwo wykazać w oparciu o zasadę szudladkową.

Weźmy 11 szufladek ponumerowanych od 0 do 10. Do każdej szufladki będziemy wkładać zawodników posiadających określoną ilość przyjaciół. Wiemy przy tym, że zawodników jest jedenastu, a liczba przyjaźni musi być liczbą parzystą (założyliśmy, że przyjaźń jest wzajemna).

 Jedyne możliwe rozłożenie zawodników w szufladkach, przy którym żaden nie ma tej samej liczby przyjaciół to umieszczenie po jednym piłkarzu w każdej szufladce.

 Liczba przyjaźni w takim wypadku  wynosi: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=10+1+9+2+8+3+7+4+6+5=55.
Liczba przyjaźni w takim wypadku jest nieparzysta. Zakładając, że przyjaźń jest wzajemna, takie ułożenie jest niemożliwe. Przyjaźni musiałoby być 56, a wtedy co najmniej dwóch zawodników musiałoby trafić do tej samej szufladki.

W ten sposób udowodniliśmy, że co najmniej dwóch zawodników z drużyny Szwajcarii ma w drużynie tę samą liczbę przyjaciół.

1 komentarz:

  1. Ładne rozwiązanie :) Alternatywnie, zamiast liczyć pod koniec sumę wszystkich "przyjaźni", można wcześniej zauważyć, że szufladki 0 i 10 nie mogą być jednocześnie zapełnione :)

    OdpowiedzUsuń