6 maja 2011

Całki oznaczone część 2

Dzięki prostemu wzorowi na objętość bryły powstającej przez obrót funkcji f(x) dookoła osi OX, wyprowadzimy wzór na objętość kuli. Gdybyście mieli problem z samymi całkami, polecam artykuł całki na MegaMatmie.
Wzór na pole bryły
Zadanie 2
Oblicz objętość kuli o promieniu R.

Rozwiązanie
Równanie okręgu opisujące funkcję, którą będziemy "obracać" dookoła osi OX ma postać:
Jest to równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych O(0,0) i promieniu r. Przekształcamy wzór, tak by uzyskać funkcję zmiennej x.
Otrzymany wzór podstawiamy do wzoru na objętośc bryły. Jako granice całkowania przyjmujemy najbardziej wysunięte punkty okręgu: -R i R.
Pamiętajmy, że promień okręgu R jest stałą. Całkujemy kolejno składniki sumy.
Podstawiamy granice całkowania w miejsce zmiennej
Wzór na objętość kuli gotowy!



2 komentarze:

  1. Ładnie wytłumaczone, choć na końcu wkradł się błąd (4/3 zamiast 3/4) :)

    OdpowiedzUsuń
  2. Przydałoby się jeszcze krótkie wyjaśnienie skąd się bierze wzór na objętość bryły (a nie na pole tak jak jest napisane w poście).

    OdpowiedzUsuń