24 stycznia 2011

Niepokorny Gauss i suma ciągu arytmetycznego

Oto historia którą słyszałam wiele razy w różnych wersjach

Carl Gauss siedział znudzony na lekcji matematyki. Nietrudno wyobrazić sobie dlaczego - Gauss był nieprzeciętnym uczniem, a lekcje matematyki 300 lat temu nie były równie nudne jak dziś. A więc Gauss nudził się, przez co często wpadał w tarapaty.


Któregoś razu, kiedy Carl znów nie zajmował się lekcją, nauczyciel zdenerwował się i krzyknął:
"Gauss! Jeżeli jesteś tak potwornie znudzony lekcją, mam dla ciebie zdanie: pójdziesz do kąta i zsumujesz liczby od jednego do stu. To powinno cię zająć na jakiś czas."

Gauss poszedł do kąta, ale nie wyglądał jakby cokolwiek liczył. Nauczyciel znów krzyknął:
"Gauss! Widzę, że zdążyłeś już dodać te wszystkie liczby."
Gauss odpowiedział: "Jasne. To 5 050."



Oczywiście nauczyciel nie uwierzył, że można było to tak szybko obliczyć. Następne 10 minut spędził dodając po kolei wszystkie liczby, przyłapać ucznia na kłamstwie. Kiedy zorientował się, że Carl ma rację, pewnie i tak kazał mu zostać w kozie. Albo trzepnął go linijką za to, że był od niego sprytniejszy.
Może cała ta historyjka jest zmyślona? Kto wie...

Jak to obliczyć? Zamiast dodawać po kolei wszystkie liczby, tak jak zrobił nauczyciel (co jest koszmarnie nudne), zauważmy pewną zależność.

Liczby od 1 do 100 występują w parach, które sumują się do 101
1+100 2+99, 3+98, a na koniec 50 i 51. Jest 50 takich par.



Liczbę 50 łatwo pomnożyć przez 101 bo to 5000 + 50 = 5 050.

Ta sztuczka działa, ilekroć chcesz dodać kolejne liczby. Aby uzyskać sumę kolejnych liczb od 27 do 50 obliczamy 7 * 77 = 490 + 49 = 539.


Jeżeli mamy dodać nieparzystą ilość liczb, na przykład liczby od 2 do 6
Zamiast pełnych 3 par, liczymy 2,5 pary 2,5 * 8 = 20.

Z tego sposobu możemy skorzystać kiedy ciąg arytmetyczny ma różnicę równą 1. Dla innych ciągów liczb sytuacja jest trochę bardziej skomplikowana.

Tak czy inaczej, to całkiem przydatna zależność.

6 komentarzy:

  1. błąd, w drugim przykładzie powinno być 12*77=924
    pozdrawiam.

    OdpowiedzUsuń
  2. no i co to za teoria już lepszą wymyśliłem na informatyce a co jeśli par będzie więcej ? ........
    lepszy sposób bierzemy najmniejszą i największą ze zbioru dodajemy potem wyliczamy z nich średnią i mnożymy przez ilość liczb czyli pokazując na liczbach
    1+100=101
    teraz średnia
    101 / 2 = 50,5
    mnożymy przez ilość liczb czyli 100

    100* 50,5= 5050 hura udało się :)

    a teraz spróbujmy inny przykład przedział od 3 do 18

    3+18=21
    21 / 2 = 10,5
    mnożymy przez ilość liczb 16
    10,5*16 = 168 nie wierzycie to sprawdźcie

    Michał Sz z okolic Kolbuszowej

    OdpowiedzUsuń
  3. Michał!
    Zauważ, że w artykule na początku JEST już średnia:
    100 / 2 = 50.

    Dowód na wzorach [ S_n to suma, a_1; a_n to wyrazy ciągu ]
    S_n = (a_1 + a_n) * (n / 2) [ metoda Gaussa ]jest tym samym co:
    S_n = [ (a_1 + a_n) / 2 ] * n [ w nawiasie jest średnia ]

    OdpowiedzUsuń
    Odpowiedzi
    1. Ten komentarz został usunięty przez autora.

      Usuń
  4. Nie musi być różnica równa jeden! Suma wyrazów każdego ciągu arytmetycznego to suma pierwszego i ostatniego wyrazu przemnożona przez połowę ich ilości.

    OdpowiedzUsuń
  5. W uproszczeniu: suma wszystkich liczb od 1 do n =

    (n * n) + n
    ____________

    2

    OdpowiedzUsuń