Treść zadania brzmi tak:
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y=ln(x+1), x=0, y=1. Narysuj tę figurę.Żeby wiedzieć, z czym mamy do czynienia zaczniemy od nakreślenia wykresu:
Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć pole czerwonego obszaru. Jednak z definicji całki oznaczonej, przy pomocy takiej całki możemy obliczyć pole pomiędzy wykresem funkcji a osią OX, czyli pole obszaru niebieskiego. Obliczymy zatem pole niebieskie i odejmiemy je od pola prostokąta.
Zacznijmy od obliczenia punktu przecięcia wykresu z prostą y=1:
ln(x + 1) = 1
ln (x +1) = ln(e)
x + 1 = e
x = e - 1
Czyli pole niebieskie wyraża się całką :
Taką całkę nazywamy całką oznaczoną. Liczby widniejące przy symbolu całki mówią nam, jakim przedziałem na osi jesteśmy zainteresowani. Obliczamy wtedy pole w konkretnym przedziale.
Aby obliczyć wartość takiego wyrażenia musimy znaleźć całkę, czyli funkcję f(x), której pochodną jest ln(x+1). A następnie podstawić do funkcji wartości krańców przedziałów f(e-1), f(0) i obliczyć ich różnicę f(e-1)-f(0).
W drugim kroku zastosowaliśmy całkowanie przez podstawienie. Do całkowania wybraliśmy funkcję f'=1, a do różniczkowania g=ln(t) i podstawiliśmy je do wzoru:
Czas teraz obliczyć pole pod wykresem:
P = (e - 1 + 1)ln(e - 1 + 1) - (e - 1 + 1) - (1)ln(1) + 1 = e ln(e) - e - ln(1) + 1 = e - e - 0 + 1 = 1
Odejmujemy je od pola prostokąta:
P = (e-1) 1 - 1 = e - 1 - 1 = e - 2
Pole czerwonego obszaru to e - 2.
Mam nadzieję że pomogłam Wam w zmaganiach z całkowaniem. Powodzenia!
Witam. W białym polu zaraz po zdaniu "Czyli pole niebieskie wyraża się całką :" nie powinno być w nawiasie x+1, zamiast x-1 ?
OdpowiedzUsuńI czy w białym polu, gdzie stosowana jest metoda podstawienia nie powinno być f'=1 zamiast f'=t ? Jestem całkiem pewien, że powinno, ale na szczęście ten błąd nie wpływa na wynik zadania. No i czy ta metoda nie nazywa sie "całkowaniem przez części"? A nazwana została metodą przez podstawienie.
OdpowiedzUsuń