11 listopada 2010

Pole figury pod wykresem, czyli całki nie takie straszne

Na pierwszym roku większość studentów spotyka się z pojęciem całki. Czym ona jest? I po co wykonujemy operację całkowania? Szukałam w Internecie artykułu, który krótko i treściwie wprowadzałby do tematu całek, i znalazłam dokładnie taki na Mega Matmie. Zatem, zaglądajcie do tematu całki i wracajcie szybko na mojego bloga, a rozwiążemy razem nie-takie-łatwe zadanie z całek.


Treść zadania brzmi tak:
Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi y=ln(x+1), x=0, y=1. Narysuj tę figurę.
Żeby wiedzieć, z czym mamy do czynienia zaczniemy od nakreślenia wykresu:

Z treści zadania wynika, że mamy obliczyć pole czerwonego obszaru. Jednak z definicji całki oznaczonej, przy pomocy takiej całki możemy obliczyć pole pomiędzy wykresem funkcji a osią OX, czyli pole obszaru niebieskiego. Obliczymy zatem pole niebieskie i odejmiemy je od pola prostokąta.

Zacznijmy od obliczenia punktu przecięcia wykresu z prostą y=1:
ln(x + 1) = 1
ln (x +1) = ln(e)
x + 1 = e
x = e - 1

Czyli pole niebieskie wyraża się całką :

Taką całkę nazywamy całką oznaczoną. Liczby widniejące przy symbolu całki mówią nam, jakim przedziałem na osi jesteśmy zainteresowani. Obliczamy wtedy pole w konkretnym przedziale.

Aby obliczyć wartość takiego wyrażenia musimy znaleźć całkę, czyli funkcję f(x), której pochodną jest ln(x+1). A następnie podstawić do funkcji wartości krańców przedziałów f(e-1), f(0) i obliczyć ich różnicę f(e-1)-f(0).


W pierwszym kroku wykonaliśmy podstawienie. Od tego momentu całkujemy względem t = x - 1.
W drugim kroku zastosowaliśmy całkowanie przez podstawienie. Do całkowania wybraliśmy funkcję f'=1, a do różniczkowania g=ln(t) i podstawiliśmy je do wzoru:



Czas teraz obliczyć pole pod wykresem:
P = (e - 1 + 1)ln(e - 1 + 1) - (e - 1 + 1) - (1)ln(1) + 1 = e ln(e) - e - ln(1) + 1 = e - e - 0 + 1 = 1

Odejmujemy je od pola prostokąta:
P = (e-1) 1 - 1 = e - 1 - 1 = e - 2


Pole czerwonego obszaru to e - 2.
Mam nadzieję że pomogłam Wam w zmaganiach z całkowaniem. Powodzenia!

2 komentarze:

  1. Witam. W białym polu zaraz po zdaniu "Czyli pole niebieskie wyraża się całką :" nie powinno być w nawiasie x+1, zamiast x-1 ?

    OdpowiedzUsuń
  2. I czy w białym polu, gdzie stosowana jest metoda podstawienia nie powinno być f'=1 zamiast f'=t ? Jestem całkiem pewien, że powinno, ale na szczęście ten błąd nie wpływa na wynik zadania. No i czy ta metoda nie nazywa sie "całkowaniem przez części"? A nazwana została metodą przez podstawienie.

    OdpowiedzUsuń